级数建模 - 彩色打印版
级数建模是使用级数来描述现实生活中的情况，将实际问题转化为数学问题并求解的过程。
例如：如果一个人的工资每年按相同百分比增长，那么每年的工资就形成一个等比数列，而n年内的总收入就可以用相应的等比级数来建模。
适用于线性增长的情况
通项公式：\(u_n = a + (n-1)d\)
求和公式：\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
等差数列建模适用于变化量恒定的情况，但在实际生活中，很多情况并不完全符合这个条件。
适用于指数增长的情况
通项公式：\(u_n = ar^{n-1}\)
求和公式：\(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\)
等比数列建模适用于按比例增长的情况，但要注意增长率不能过高，否则模型可能不现实。
题目：公司第一年利润$20,000，每年增加$5,000，直到达到$100,000后保持不变
解答：
这是等差数列，首项 a = $20,000，公差 d = $5,000
达到$100,000需要17年
前17年利润总和 + 后3年利润 = $1,320,000
题目：A4纸厚度0.5mm，每次折叠厚度翻倍
解答：
这是等比数列，首项 a = 0.5，公比 r = 2
折叠4次后厚度 = 0.5 × 2^4 = 8mm
折叠20次后厚度 = 0.5 × 2^20 = 524.288m
题目：投资$10,000，年利率5%，计算10年后的总价值
解答：
这是等比数列，首项 a = $10,000，公比 r = 1.05
10年后价值 = $10,000 × 1.05^10 = $16,288.95
在建立数学模型时，要特别注意：
1. 模型的适用条件
2. 实际情况的复杂性
3. 外部因素的影响
4. 模型的合理性
在解决级数建模问题时，要特别注意：
1. 正确理解问题的背景
2. 准确识别变化规律
3. 建立合适的数学模型
4. 评估模型的适用性
5. 考虑实际情况的复杂性